Question

如图，直线y=3x-3交x轴于B，交y轴于C，以OC为边作正方形OCEF，E F交双曲线于点M．且FM=OB．
（1）求k的值．
（2）请你连OM、OG、GM，并求S_△OGM．
（3）点P是双曲线上一点，点N为x轴上一点，请探究：是否存在点P、N，使以B、C、P、N为顶点组成平行四边形？若存在，求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=3x-3交x轴于B，交y轴于C
∴B（1，0），C（0，-3）
∵四边形OCEF是正方形，
∴OF=OC=3，
又∵FM=OB，
∴M（3，-1），
∵E、F交双曲线y=于点M，
∴k=-3；

（2）∵把y=-3代入y=得x=1，即CG=1，
∴GE=2
由（1）知FM=1，
∴ME=2，
∴S_△OGM=S_{正方形OCEF}-S_△OFM-S_△OCG-S_△GEM
=3×3-3×1÷2-3×1÷2-2×2÷2
=9---2=4；

（3）①当以BC为平行四边形一边，点P在第二象限的反比例函数上时，y_p=OC=3，
∵y_p=，
∴x_p=-1，
∴过点P（-1，3）；
∵x_P-x_N=OB=1，
∴x_N=-2，
∴N（-2，0）；
②当以BC为平行四边形一边，点P在第四象限的反比例函数上时，
∵CP∥BN，
∴CP∥x轴，
∴y_p=-OC=-3，
∵y_p=，
∴x_p=1，
∴P（1，-3），
∴BN=PC=1，
∴N（2，0）．
③∵当以BC为对角线时PN必定与BC互相平分，
∴同时有P、N在BC的两侧，
∴点P在第四象限的反比例函数上，
∴CP∥BN即CP∥x轴，CP=BN且N在点P的左边，由②可知P（1，-3），PC=1，
∴x_B-x_N=PC=1，
∴x_N=0，
∴N（0，0）．
分析：（1）先由直线y=3x-3交x轴于B，交y轴于C可得出B、C两点的坐标再根据四边形OCEF是正方形可知OF=OC=3，由FM=OB即可求出M点的坐标，再根据E F交双曲线y=于点M即可得出k的值；
（2）先C点纵坐标代入y=求出x的值，故可得出CG、GE的长，由（1）知FM=1，故可得出ME=2，根据S_△OGM=S_{正方形OCEF}-S_△OFM-S_△OCG-S_△GEM即可得出结论；
（3）由于P、N的位置不能确定，故应分①当以BC为平行四边形一边，点P在第二象限的反比例函数上；当以BC为平行四边形一边，点P在第四象限的反比例函数上；当以BC为对角线时三种情况进行讨论．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到正方形的性质、平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点等知识，难度较大．