Question

如图，已知A、B（-1，n）是一次函数，y=kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点，且第一象限内的点A的横坐标是它纵坐标的2倍，OA=
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数与一次函数的解析式；
（3）求△AOB的面积；
（4）求方程kx+b=0的解（直接写出答案）；
（5）求不等式kx+b＞0的解集（请直接写出答案）．

Answer 1

解：（1）由题意，设A（2x，x），（x＞0）则有：
（2x）²+x²=5，解得x=1（负值舍去），
故A（2，1）．

（2）由于点A位于反比例函数的图象上，则有：
m=2×1=2，即y=；
∴B（-1，-2）；
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则有：
，解得；
∴y=x-1；
综上可知：反比例函数的解析式为：y=；一次函数的解析式为：y=x-1．

（3）设直线AB与x轴的交点为C，则C（1，0）；
∴S_△AOB=OC•|y_A-y_B|=×1×3=1.5；
即△AOB的面积为1.5平方单位．

（4）由（1）（2）知：两个函数的交点坐标为：A（2，1），B（-1，-2）；
∴方程kx+b=0的解为：x₁=2，x₂=-1．

（5）由图知：当-1＜x＜0或x＞2时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方；
故不等式kx+b＞0的解集为：-1＜x＜0或x＞2．
分析：（1）首先根据A点横、纵坐标之间的关系，设出点A的坐标，利用OA的长和勾股定理来确定点A的坐标．
（2）将点A坐标代入反比例函数的解析式中，即可求得m的值，从而确定反比例函数解析式，进而可得B点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的解析式即可．
（3）知道了直线AB的解析式，可求得直线AB与x轴的交点（设为C）坐标，以OC为底，A、B纵坐标差的绝对值为高，可求得△AOB的面积．
（4）观察所求方程，实际求的是两个函数值相等时，x的取值，即两个函数图象交点的横坐标，在上面的解题过程中，已经求得了A、B的坐标，即可得解．
（5）此题求的是当一次函数的函数值大于反比例函数值时，x的取值范围，可结合两个函数的图象以及交点A、B的坐标来解答．
点评：此题主要考查了函数解析式的确定，勾股定理，图形面积的求法以及函数与方程、不等式之间的联系，难度适中．