Question

已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图①摆放（点C与E重合），点B，C，E，F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，DE=DF，AC=8，BC=6，EF=10．如图②，△DEF从图①位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，AC与△DEF的直角边相交于点Q，当E到达终点B时，△DEF与点P同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：
（1）当D在AC上时，求t的值；
（2）在P点运动过程中，是否存在点P，使△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据等腰三角形性质求出即可；
（2）①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根据相似得出比例式，④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似与勾股定理，即可求出答案；
（3）根据四边形APEQ的面积=

1

2

AC•BC-

1

2

EC•EQ-

1

2

BE•PM，由三角形的面积之差就可以表示出四边形的面积，分两种情况可以求出y与t之间的关系式．

解答：解：（1）当D在AC上时，
∵DE=DF，
∴EC=CF=

1

2

EF=5，
∴t=5；

（2）存在．
∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
AQ=8-t，当0≤t＜5时，
①AP=AQ，
t=8-t，
∴t=4；
②AP=PQ，
作PH⊥AC于H，
AH=HQ=

1

2

AQ=4-

1

2

t，
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴

AP

AH

=

AB

AC

，即

t

4- 1 2 t

=

10

8

，
解得，t=

40

13

；
③AQ=PQ，
作QI⊥AB于I，
AI=PI=

1

2

AP=

1

2

t（等腰三角形的性质三线合一），
∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AIQ∽△ACB，
∴

AI

AQ

=

AC

AB

，即

1 2 t

8-t

=

8

10

，解得t=

64

13

；
④当5≤t≤10时，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，
同理可求出，
FC=QC=10-t，BP=10-t，
PH=

4

5

（10-t）=8-

4

5

t，
BH=

3

5

（10-t）=6-

3

5

t，
QG=QC-GC=QC-PH=10-t-（8-

4

5

t）=2-

t

5

，PG=HC=6-（6-

3

5

t）=

3

5

t，
PQ=AQ=8-（10-t）=t-2，
∴PQ ²=PG ²+QG ²，
（t-2）²=（

3

5

t）²+（2-

t

5

）²，
解得：t₁=0（舍去），t₂=

16

3

秒，
综合上述：当t等于4秒、

40

13

秒、

64

13

秒、

16

3

秒时△APQ是等腰三角形．

（3）如图4，过点P作PM⊥BE于M，
∴∠BMP=90°．
∴△ABC∽△PBM，
∴

AC

PM

=

AB

PB

，
∴

8

PM

=

10

10-t

，
∴PM=8-

4

5

t．
①当0＜t＜5时，
y=

1

2

AC•BC-

1

2

EC•EQ-

1

2

BE•PM
=

1

2

×8×6-

1

2

×t×t-

1

2

×（6-t）（8-

4

5

t），
=-

9

10

t²+

32

5

t；
②如图5，当5≤t＜6时，
y=

1

2

×8×6-

1

2

×t×（10-t）-

1

2

×（6-t）（8-

4

5

t），
=

1

10

t²+

7

5

t．
综上所述，y与t之间的函数关系式为：y=

- 9 10 t2+ 32 5 t(0＜t＜5) 1 10 t2+ 7 5 t(5≤t＜6)

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理的运用，特殊图形的面积的求法等知识，图形较复杂，考查学生数形结合的能力，综合性强，难度较大．