Question

如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．
（1）若点F与B重合，求CE的长；
（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长；
（3）设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式（直接写出结果可）．

Answer 1

解：（1）∵F与B重合，且EF⊥DE，
∴DE⊥BC，
∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABED为矩形，
∴BE=AD=9，
∴CE=12-9=3．

（2）作DH⊥BC于H，
则DH=AB=7，CH=3．
设AF=CE=x，
∵F在线段AB上，
∴点E在线段BH上，CH=3，CE=x，
∴HE=x-3，BF=7-x，
∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，
∴∠BEF=∠HDE，
又∵∠B=∠DHE=90°，
∴△BEF∽△HDE，
∴，
∴，
整理得x²-22x+85=0，
（x-5）（x-17）=0，
∴x=5或17，
经检验，它们都是原方程的解，但x=17不合题意，舍去．
∴x=CE=5．

（3）作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，CE=x，BF=y，
∴则HE=x-3，BF=y，
当3≤x≤12时，
易证△BEF∽△HDE，
∴=，
∴y=-x²+x-，
当0≤x＜3，
易证△BEF∽△HDE，
则HE=3-x，BF=y，
∴=，
∴y=x²-x+，
∴y=．
分析：（1）先证明四边形ABED为矩形，CE=BC-AD，继而即可求出答案；
（2）设AF=CE=x，则HE=x-3，BF=7-x，再通过证明△BEF∽△HDE，根据对应边成比例，然后代入求解即可；
（3）综合（1）（2）两种情况，然后代入求出解析式即可．
点评：本题考查直角梯形的知识，同时考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是一道小的综合题，注意对这些知识的熟练掌握并灵活应用．