Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC边上一点，AD⊥DE，且DE交AB于点E，CF⊥AB交AD于点G，F为垂足，
（1）求证：△ACG∽△DBE；
（2）CD=BD，BC=2AC时，求．

Answer 1

（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥DE，CF⊥AB，
∴∠ACF+∠BCF=90°，∠B+∠BCF=90°，∠ADC+∠BDE=90°，∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠BDE，∠ACF=∠B，
∴△ACG∽△DBE；

（2）解：过点E作EH⊥BC于点H，
∵∠ACB=90°，
∴EH∥AC，
∴△BEH∽△BAC，
∴EH：AC=BH：BC=DE：AD，
∴AC：BC=EH：BH，
∵CD=BD，BC=2AC，BC=CD+BD，
∴AC=CD=BD，
∴∠ADC=45°，
∵AD⊥DE，
∴∠EDH=45°，
∴DH=EH，
∴EH：BH=AC：BC=1：2，
∴EH=DH=BH，
∴BH：BC==，
即EH：AC=1：3，
∴=．
分析：（1）由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥DE，CF⊥AB，根据等角的余角相等，易证得∠CAD=∠BDE，∠ACF=∠B，继而可证得△ACG∽△DBE；
（2）首先过点E作EH⊥BC于点H，易证得△BEH∽△BAC，然后根据相似三角形的对应边成比例，可得EH：AC=BH：BC=DE：AD，易证得△DEH是等腰直角三角形，则可求得BH：BC=1：3，则可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．