Question

如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则sin∠FCD=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：由四边形ABCD为正方形，得到四个内角为直角，四条边相等，可得出AD与BC都与半圆相切，利用切线长定理得到FA=FE，CB=CE，设正方形的边长为4a，FA=FE=x，由FE+FC表示出EC，由AD-AF表示出FD，在直角三角形FDC中，利用勾股定理列出关系式，用a表示出x，进而用a表示出FD与FC，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠FCD的值．
解答：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=BC=CD=AD，
∴AD与BC都与半圆O相切，又CF与半圆相切，
∴AF=EF，CB=CE，
设AB=BC=CD=AD=4a，AF=EF=x，
∴FC=EF+EC=4a+x，FD=AD-AF=4a-x，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：FC²=FD²+CD²，
∴（4a+x）²=（4a-x）²+（4a）²，
整理得：x=a，
∴FC=4a+x=5a，FD=4a-x=3a，
∴在Rt△DFC中，sin∠FCD==．
故选B
点评：此题考查了正方形的性质，切线的判定，切线长定理，勾股定理，以及锐角三角函数定义，利用了转化及等量代换的思想，灵活运用切线长定理是解本题的关键．