Question

如图①②③…，M，N分别是⊙O的内接正三角形A₁A₂A₃，方形A₁A₂A₃A₄，正五边形A₁A₂A₃A₄A₅，…，正n边形A₁A₂A₃…A_n的边A₁A₂，A₂A₃上的点，且A₂M=A₃N，连接OM，ON．
（1）求图①中∠MON的度教．
（2）图②中∠MON的度数是

90°

，图③∠MON的度数是

72°

．
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．（直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）连接OA₂、OA₃，先利用SAS证明△OMA₂≌△ONA₃，得出∠A₂OM=∠A₃ON，则∠MON=∠A₂OA₃，再由正n边形的中心角为

360°

n

即可求出∠A₂OA₃=120°；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答．

解答：解：（1）如图①，连接OA₂、OA₃，
∵A₁A₂=A₁A₃，
∴∠A₁A₂A₃=∠A₁A₃A₂，
∵OA₃=OA₂，O是外接圆的圆心，
∴A₃O平分∠A₁A₃A₂，
∴∠OA₂A₃=∠OA₃A₂=30°，
∴∠OA₂M=∠OA₃N=30°，
∵A₂M=A₃N，OA₂=OA₃，
∴△OMA₂≌△ONA₃，
∴∠A₂OM=∠A₃ON，
∴∠MON=∠A₂OA₃，
∵∠A₂OA₃=

360°

3

=120°；
∴∠MON=∠A₂OA₃=120°；

（2）如图②，连接OA₂、OA₃，
易证△OMA₂≌△ONA₃，
∴∠A₂OM=∠A₃ON，
∴∠MON=∠A₂OA₃，
∵∠A₂OA₃=

360°

4

=90°；
∴∠MON=∠A₂OA₃=90°；
如图③，连接OA₃、OA₄，
易证△OMA₃≌△ONA₄，
∴∠A₃OM=∠A₄ON，
∴∠MON=∠A₃OA₄，
∵∠A₃OA₄=

360°

5

=72°；
∴∠MON=∠A₃OA₄=72°；

（3）由图①可知，n=3时，∠MON=

360°

3

=120°；
在图②中，n=4时，∠MON=

360°

4

=90°；
在图③中，n=5时，∠MON=

360°

5

=72°；
…，
则正多边形的边数为n时，∠MON=

360°

n

．
故答案为90°，72°．

点评：本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键，注意正多边形外接圆的圆心与其中心重合．