Question

10．如图，AB∥CD，∠AEC=90°
（1）当CE平分∠ACD时，求证：AE平分∠BAC；
（2）移动直角顶点E点，如图，∠MCE=∠ECD，当E点转动时，问∠BAE与∠MCG是否存在确定的数量关系，并证明．（提示：可以作∠MCG的平分线）

Answer 1

分析 （1）先根据平行线的性质得出∠BAE+∠CAE+∠DCE+∠ACE=180°，再由∠AEC=90°可知∠CAE+∠ACE=90°，故可得出∠BAE+∠DCE=90°，由CE平分∠ACD可知∠DCE=∠ACE，故∠ACE+∠BAE=90°，由此可得出结论；
（2）延长AE交DG于点F，根据平行线的性质可得出∠BAE=∠AFC，由∠AEC=90°可知∠CEF=90°，故可得出∠AFC+∠ECD=90°，再根据∠MCE=∠ECD，MCE+∠ECD=180°-∠MCG可得出结论．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠CAE+∠DCE+∠ACE=180°．
∵∠AEC=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BAE+∠DCE=90°．
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE=∠ACE，
∴∠ACE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC；

（2）∠BAE=$\frac{1}{2}$∠MCG．
证明：∵延长AE交DG于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠AFC．
∵∠AEC=90°，
∴∠CEF=90°，
∴∠AFC+∠ECD=90°．
∵∠MCE=∠ECD，MCE+∠ECD=180°-∠MCG，
∴∠BAE+$\frac{1}{2}$（180°-∠MCG）=90°，即∠BAE=$\frac{1}{2}$∠MCG．

点评 本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．