Question

5．如图，已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标为方程x²-4x-12=0的两根，与y轴交于点C（0，-8）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为（$\frac{6}{7}$，0）．
（3）连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动，设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S．
①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
③设S₀是②中函数S的最大值，直接写出S₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用交点式假设出函数解析式即可求得出a的值；
（2）根据解析式求得顶点的坐标，根据点C的坐标求得C的对称点C′，进而求得直线C′M的解析式，求得与x轴的交点即为K的坐标；
（3）①由PQ∥OC，得出△APQ∽△AOC，根据相似三角形的对应边成比例得出$\frac{6-3t}{6}$=$\frac{18-8t}{10}$，进而求得t=$\frac{8}{3}$，因为t=$\frac{8}{3}$＞2不满足1＜t＜2；所以不存在PQ∥OC；
②本题要分三种情况进行讨论：
当Q在OC上，P在OA上，即当0≤t≤1时，此时S=$\frac{1}{2}$OP•OQ，由此可得出关于S，t的函数关系式；
当Q在CA上，P在OA上，即当1＜t≤2时，此时S=$\frac{1}{2}$OP×Q点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；
当Q，P都在CA上时，即当2＜t＜$\frac{24}{11}$相遇时用的时间，此时S=S_△AOQ-S_△AOP，由此可得出S，t的函数关系式；
综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式．
③根据②的函数即可得出S的最大值．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+2）（x-6）（a≠0），
∵图象过点（0，-8），
∴a=$\frac{2}{3}$．
∴二次函数的解析式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-8；

（2）∵y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-8
=$\frac{2}{3}$（x²-4x+4-4）-8
=$\frac{2}{3}$（x-2）²-$\frac{32}{3}$，
∴点M的坐标为（2，-$\frac{32}{3}$）．
∵点C的坐标为（0，-8），
∴点C关于x轴对称的点C′的坐标为（0，8）．
∴直线C′M的解析式为：y=-$\frac{28}{3}$x+8
令y=0
得-$\frac{28}{3}$x+8=0
解得：x=$\frac{6}{7}$
∴点K的坐标为（$\frac{6}{7}$，0）；
故答案为：（$\frac{6}{7}$，0）；

（3）①不存在PQ∥OC，
若PQ∥OC，如图1，则点P，Q分别在线段OA，CA上，
此时，1＜t＜2
∵PQ∥OC，
∴△APQ∽△AOC
∴$\frac{AP}{AO}$=$\frac{AQ}{AC}$
∵AP=6-3t
AQ=18-8t，
∴$\frac{6-3t}{6}$=$\frac{18-8t}{10}$
∴解得：t=$\frac{8}{3}$，
∵t=$\frac{8}{3}$＞2不满足1＜t＜2；
∴不存在PQ∥OC；

②分情况讨论如下，
情况1：当0≤t≤1时
S=$\frac{1}{2}$OP•OQ=$\frac{1}{2}$×3t×8t=12t²；
情况2：当1＜t≤2时
如图2，作QE⊥OA，垂足为E，
S=$\frac{1}{2}$OP•EQ=$\frac{1}{2}$×3t×$\frac{72-32t}{5}$=-$\frac{48}{5}$t²+$\frac{108}{5}$t，
情况3：当2＜t＜$\frac{24}{11}$ 时
如图3，作OF⊥AC，垂足为F，则OF=$\frac{24}{5}$，
S=$\frac{1}{2}$QP•OF=$\frac{1}{2}$×（24-11t）×$\frac{24}{5}$=-$\frac{132}{5}$t+$\frac{288}{5}$；
③当0≤t≤1时，S=12t²，函数的最大值是12；
当1＜t≤2时，S=-$\frac{48}{5}$t²+$\frac{108}{5}$，函数的最大值是$\frac{243}{20}$；
当2＜t＜$\frac{24}{11}$，S=$\frac{1}{2}$QP•OF=-$\frac{132}{5}$t+$\frac{288}{5}$，函数的最大值为$\frac{24}{5}$；
∴S₀的最大值为$\frac{243}{20}$．

点评 此题主要考查了二次函数综合题型、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、三角形的面积等知识点，难点在于（3）②分情况讨论，（2）利用对称性判断出点M的位置．