Question

2．抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C顶点为D，已知：D（-1，-4），A（-3，0）．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在线段AC上是否存在点M，使以点A，O，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的顶点坐标可得出抛物线的对称轴，结合点A的坐标即可得出点B的坐标，根据点A、B、D的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）令x=0求出y值，进而得出点C的坐标，根据点A、C、D的坐标利用两点间的距离公式即可求出线段AC、AD、CD的长度，根据三条线段的长度可得出AC²+CD²=AD²，由此即可得出△ACD为直角三角形；
（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，假设存在符合题意的点M，设点M的坐标为（m，-m-3）（-3＜m＜0）．根据∠BAC=∠OAM可得出以点A，O，M为顶点的三角形与△ABC相似分两种情况，根据相似三角形的性质找出AM的长度，再结合两点间的距离即可求出m的值，由此即可得出点M的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为D（-1，-4），
∴抛物线的对称轴为x=-1，
∵点A（-3，0），
∴B（1，0）．
将A（-3，0）、B（1，0）、D（-1，-4）代入y=ax²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{a-b+c=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²+2-3．
（2）当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3），
∵D（-1，-4），A（-3，0），
∴AD=$\sqrt{[-1-（-3）]^{2}+（-4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，CD=$\sqrt{（-1-0）^{2}+[-4-（-3）]^{2}}$=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（-3-0）^{2}+[0-（-3）]^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵AC²+CD²=AD²，
∴△ACD为直角三角形．
（3）设直线AC的解析式为y=kx-3，
将点A（-3，0）代入y=kx-3中，
得：0=-3k-3，解得：k=-1，
∴直线AC的解析式为y=-x-3．
∵A（-3，0），B（1，0），
∴AO=3，AB=4．
假设存在符合题意得点M，设点M的坐标为（m，-m-3）（-3＜m＜0）．
∵∠BAC=∠OAM，
∴以点A，O，M为顶点的三角形与△ABC相似分两种情况（如图所示）：
①当△AOM∽△ABC时，有$\frac{AO}{AB}=\frac{AM}{AC}$，
∴$\frac{3}{4}=\frac{AM}{3\sqrt{2}}$，解得：AM=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
∴[m-（-3）]²+（-m-3）²=$（\frac{9\sqrt{2}}{4}）^{2}$，
解得：m₁=-$\frac{3}{4}$，m₂=-$\frac{21}{4}$（舍去），
此时点M的坐标为（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{9}{4}$）；
②当△AMO∽△ABC时，有$\frac{AM}{AB}=\frac{AO}{AC}$，
∴$\frac{AM}{4}=\frac{3}{3\sqrt{2}}$，解得：AM=2$\sqrt{2}$，
∴[m-（-3）]²+（-m-3）²=$（2\sqrt{2}）^{2}$，
解得：m₃=-1，m₄=-5（舍去），
此时点M的坐标为（-1，-2）．
综上可知：在线段AC上存在点M，使以点A，O，M为顶点的三角形与△ABC相似，点M的坐标为（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{9}{4}$）或（-1，-2）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用勾股定理的逆定理找出三角形为直角三角形；（3）分两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系是关键．