Question

如图，抛物线y=-

1

2

x2+

5

2

x-2与x轴相交于A、B，与y轴相交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线点D．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）若梯形ACDB的对角线AD、BC交于点E，求点E的坐标，并求经过A、B、E三点的抛物线的解析式；
（3）点P是直线CD上一点，且△PBC与△ABC相似，求符合条件的P点坐标．

Answer 1

分析：（1）把x=0，y=0分别代入解析式，即可求出A、B、C的坐标，由CD∥x轴得到C和D的纵坐标相等（是-2）从而求出D的坐标，利用梯形的面积公式求出即可；
（2）根据抛物线的对称性求出E的横坐标，过E作EN⊥AB，就可得到比例式，进一步求出E的纵坐标，即过、B、E三点的抛物线的顶点坐标，即可求出解析式；
（3）由已知相似可得比例式，能求出CP的值，进而求出P的坐标．

解答：解：（1）y=-

1

2

x2+

5

2

x-2，
当y=0时，-

1

2

x²+

5

2

x-2=0，
解得：x₁=1，x₂=4，
当x=0时，y=-2，
∴A（1，0），B（4，0），C（0，-2），
∵CD∥x轴，
∴D点的纵坐标也是-2，
把y=-2代入y=-

1

2

x2+

5

2

x-2得：
-

1

2

x²+

5

2

x-2=-2，
解得：x₃=0，x₄=5，
D点的坐标是：（5，-2），
S_梯形ACDB=

1

2

×[（4-1）+5]×|-2|，
=8．
所以梯形ABCD的面积是8．

（2）由抛物线的对称性有xE=

5

2

，
过E作EN⊥AB于N，

EN

OC

=

BE

BC

=

AB

AB+CD

=

3

8

，
EN=

3

4

，
yE=-

3

4

，
∴E(

5

2

，-

3

4

)，
设：经过A、B、E三点的抛物线的解析式为：y=a(x-

5

2

)2-

3

4

，
把A（1，0）代入解得：a=

1

3

，
所以经过A、B、E三点的抛物线的解析式是：y=

1

3

(x-

5

2

)2-

3

4

，
即y═

1

3

x²-

5

3

x+

4

3

．

（3）当点P在C的右侧，
当∠CAB=∠CBP时，

AC

PB

=

AB

CB

，

5

PB

=

3

2 5

，
PB=

10

3

，
设P（a，-2），
∵B（4，0），
∴由勾股定理得：2²+（4-a）²=（

10

3

）²，
a=

4

3

（此时∠CAB≠∠CBP舍去），a=

20

3

，
∴P（

20

3

，-2）；
当∠CPB=∠CAB时，
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠PCB，
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠CBP+∠BCP+∠BPC=180°，
∴∠ACB=∠CBP，
∴AC∥PB，
∴四边形ACPB是平行四边形，
∴AB=CP，
∵A（1，0），B（4，0），
∴CP=AB=3，
∵C（0，-2），CP∥AB，
∴P（3，-2），
当点P在C的左侧，由题意有钝角∠BAC≠钝角∠PCB，此时不存在．
所以符合条件的P点坐标是P（3，-2）和P（

20

3

，-2）．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，三角形相似的性质，梯形的面积公式，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能综合运用这些知识解题是解决本题的关键．难点是（3）小题的求法，巧妙地运用了分类讨论思想．