Question

3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE=2$\sqrt{3}$，CE=2．求⊙O的半径和线段BE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根据平行线的判定即可得到结论；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2$\sqrt{3}$，在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R=4；设⊙O的半径为R，延长CO交⊙O于F，连接AF，GJ 相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：连结OA，如图，
∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∴OA⊥OC，
∴AD∥OC；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OAE中，∵AO²+OE²=AE²，
∴R²+（R-2）²=（2$\sqrt{3}$）²，解得R=1$+\sqrt{5}$，（负值舍去），
延长CO交⊙O于F，连接AF，
则△CEB∽△AEF，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{FE}{BE}$，
∵EF=2R-2=2$\sqrt{5}$，
∴BE=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理．