Question

17．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E、M是边BC的三等分点，连结DE，将△DEC以点M为旋转中心顺时针旋转，当点D的对应点D‘恰好落在正方形的一条边上时，AD‘的长为2或$6-2\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 分两种情况进行讨论：点D'落在AB上，D'落在AD上，连接D'M，分别根据旋转的性质以及勾股定理进行计算，即可得出AD'的长为2或 $6-2\sqrt{6}$．

解答 解：如图，连接DM，

∵AB=6，点E、M是边BC的三等分点，
∴CM=2，CD=6，
∴DM=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
①当点D'落在AB上时，连接D'M，则D'M=2$\sqrt{10}$，如图，

∵BM=4，
∴BD'=$\sqrt{D'{M}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{24}$=2$\sqrt{6}$，
∴AD'=AB-D'B=6-2$\sqrt{6}$；
②当D'落在AD上时，过M作MH⊥AD于H，如图，

∵MH=CD=6，DH=CM=2，D'M=2$\sqrt{6}$，
∴D'H=$\sqrt{D'{M}^{2}-M{H}^{2}}$=$\sqrt{4}$=2，
∴AD'=AD-DH-D'H=6-2-2=2．
综上所述，AD'的长为2或 $6-2\sqrt{6}$；
故答案为：2或 $6-2\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了旋转的性质，勾股定理以及正方形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算．