Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．
求证：（1）∠DBC=∠DCB；
（2）直线AD是BC的垂直平分线．

Answer 1

证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△BAD和△CAD中

∴△BAD≌△CAD，
∴∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD，
∴∠DBC=∠DCB．

（2）∵AB=AC，
∴A在线段BC 的垂直平分线上，
∵△BAD≌△CAD，
∴DB=DC，
∴D在线段BC 的垂直平分线上，
即直线AD是BC的垂直平分线．
分析：（1）求出∠BAD=∠CAD，根据SAS证△BAD≌△CAD，推出∠ABD=∠ACD，根据等腰三角形性质推出∠ABC=∠ACB即可；
（2）根据全等三角形性质得出DB=DC，根据AB=AC和DB=DC即可推出答案．
点评：本题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．