Question

17．已知矩形OABC中，OA=3，AB=6，以OA、OC所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，得到矩形ODEF，当点B在直线DE上时，设直线DE和x轴交于点P，与y轴交于点Q．
（1）求证：△BCQ≌△ODQ；
（2）求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由矩形OABC与矩形ODEF全等，得到BC=OD，一对直角相等，再由一对对顶角相等，利用AAS即可得证；
（2）由全等三角形对应边相等得到CQ=DQ，BQ=OQ，设CQ=x，表示出OQ与BQ，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而确定出Q坐标，设直线BQ解析式为y=kx+b，把B与Q坐标代入求出k与b的值，确定出直线BQ解析式，即可求出P坐标．

解答 （1）证明：∵矩形OABC和矩形ODEF全等，
∴BC=OD，∠BCQ=∠ODQ=90°，
在△BCQ和△ODQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCQ=∠ODQ}\\{∠BQC=∠OQD}\\{BC=OD}\end{array}\right.$，
∵∠BQC=∠OQD（AAS），
∴△BCQ≌△ODQ；
（2）∵△BCQ≌△ODQ，
∴CQ=DQ，BQ=OQ，
设CQ=x，则OQ=6-x，BQ=6-x，
在Rt△BCQ中，根据勾股定理得：（6-x）²-x²=9，
解得：x=$\frac{9}{4}$，
∴OQ=6-$\frac{9}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∴Q（0，$\frac{15}{4}$），
设BQ：y=kx+b，
把B（-3，6）与Q（0，$\frac{15}{4}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{15}{4}}\\{-3k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{4}$，
令y=0，得-$\frac{3}{4}$x+$\frac{15}{4}$=0，
解得：x=5，
则P（5，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：矩形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．