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如图所示,等腰梯形ABCD,AB∥DC,AD=AB=BC=2,CD=4,有两个动点P、Q,同时从D点出发,点P沿D-A-B-C以每秒2个单位长度的速度移动,点Q沿线段DC以每秒1个单位长度的速度移动,当点P、Q精英家教网有一个点到达点C时,另一点也停止移动,若移动的时间为t秒,△DPQ的面积为S个平方单位.
(1)直接写出S与t的函数关系式:
(2)当t为何值时S取最大值,最大值为多少?
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使直线PQ与等腰梯形ABCD的某一边所夹的锐角等于30°?若存在,直接写出t的范围或t的值;若不存在,说明理由.
分析:(1)根据等边三角形的性质求出∠D=60°,根据勾股定理求出梯形的高
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,有3种情况:①0<t≤1时,根据三角形的面积公式求出即可;②1<t≤2时,根据三角形的面积公式求出即可;③当2<t<3时,根据三角形的面积求出即可;
(2)通过计算得出只有t=2时,S有最大值,把t=2代入即可求出答案;
(3)当P在AD上时,∠DPQ=30°,即可求出t的范围;当P在BC上时,∠PQC=30°,根据直角三角形的性质求出即可.
解答:解:(1)S与t的函数关系式是S=
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2
t2(0<t≤1),S=
3
2
t(1<t≤2),S=-
3
2
t2+
3
3
2
t(2<<3).

(2)当t=2时,S有最大值,最大值是S=
3
2
t=
3

答:t为2时S取最大值,最大值为
3


(3)存在,t的范围是0<t≤1 或t=
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3
点评:本题主要考查对等腰梯形的性质,二次函数的最值,等边三角形的性质和判定,勾股定理,含30度角的直角三角形性质,三角形的内角和定理,三角形的面积等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.
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