Question

如图，抛物线y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．

 (1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；

 (2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

 (3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?

Answer 1

解：（1）A（0,4） C（8,0）   （2分）
（2）易得D（3，0），CD=5，    （3分）
设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：
，
解得；
∴y=-x+4；             （4分）
①当DE=DC时，
∵OA=4，OD=3，
∴DA=5，
∴E1（0，4）；     （5分）
②过E点作EG⊥x轴于G点，
当DE=EC时，由DG==，
把x=OD+DG=3+=代入到y=-x+4，求出y=，
可得E2（，）；                   （6分）
③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，
则△CEG∽△CAO，
∴，又OA=4，OC=8，则AC=4，DC=EC=5，
∴EG=，CG=2，
∴E3（8-2，）；      （7分）
综上所述，符合条件的E点共有三个：E1（0，4）、E2（，）、E3（8-2，）．（8分）

（3）如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC与点Q；
设P（m，-m2+m+4），则Q（m，-m+4）． 
①当0＜m＜8时，
PQ=（-m2+m+4）-（-m+4）=-m2+2m，
S=S△APQ+S△CPQ=×8×（-m2+2m）=-（m-4）2+16，
∴0＜S≤16； （9分）
②当-2≤m＜0时，
PQ=（-m+4）-（-m2+m+4）=m2-2m，
S=S△CPQ-S△APQ=×8×（m2-2m）=（m-4）2-16，
∴0＜S＜20；                                          （10分）
∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，-2＜m＜0中m有一个值，此时有三个；
当16＜S＜20时，-2＜m＜0中m只有一个值；
当S=16时，m=4或m=4-4这两个．
故当S=16时，相应的点P有且只有两个．