Question

（2004•绍兴）如图，CB、CD是⊙O的切线，切点分别为B、D．CD的延长线与⊙O的直径BE的延长线交于A点，连接OC，ED．
（1）探索OC与ED的位置关系，并加以证明；
（2）若AD=4，CD=6，求tan∠ADE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，证△COD≌△COB，则∠COD=∠COB；又∠DOB是等腰△ODE的外角，则∠DOB=2∠DEB，由此可证得∠COB=∠DEB；同位角相等，则DE∥OC；
（2）Rt△ABC中，由勾股定理，易求得AB的长；然后在Rt△ADO中，用⊙O的半径表示出OA的长，再根据勾股定理求出⊙O的半径．则Rt△COD中，即可求得∠OCD的正切值，由（1）知：∠ADE=∠OCE，由此可求出∠ADE的正切值．
解答：解：（1）OC∥ED，（1分）
证明：连接OD，
∵BC、CD是⊙O的切线，
∴∠CBO=∠CDO=90°．
∵OD=OB，CO=CO，
∴△COB≌△COD．
∴∠COD=∠COB．
又∵OD=OE，
∴∠EDO=∠DEO．
∵∠DEO=∠DOB，（4分）
∴∠DEO=∠COB．
∴OC∥ED．（5分）

（2）∵CD=6，AD=4，
∴CB=6，AC=10．（6分）
∴AB=8．（7分）
设⊙O的半径为r，
在Rt△ADO中有（8-r）²=4²+r²
解得r=3．（8分）
∵OC∥ED，
∴∠ADE=∠DCO．（9分）
在Rt△COD中，tan∠DCO=，
∴tan∠ADE=．（10分）
点评：本题主要考查了切线的性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识．