Question

10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点M，线段AB=2，AC=2$\sqrt{3}$，过点M的切线交AC边于点P，连接OP．
（1）求sin∠CMP的值；
（2）求证：AP=PC．

Answer 1

分析 （1）连结OM、AM，如图，利用正切定义可计算出∠C=30°，再根据圆周角定理得∠AMB=90°，则∠CAM=60°，接着证明PA为⊙O的切线，而PM为⊙O的切线，根据切线长定理得PM=PA，所以∠PMA=∠PAM=60°，于是可计算出∠CMP=30°，然后根据特殊角的三角函数值求解；
（2）由∠C=∠CMP=30°得到PM=PC，加上PA=PM，所以PA=PC．

解答 （1）解：连结OM、AM，如图，
∵∠BAC=90°，
∴tanC=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠C=30°，
∵AB为直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠CAM=60°，
∵∠BAC=90°，AB为直径，
∴PA为⊙O的切线，
而PM为⊙O的切线，
∴PM=PA，
∴∠PMA=∠PAM=60°，
∴∠CMP=90°-60°=30°，
∴sin∠CMP=sin30°=$\frac{1}{2}$；
（2）证明：∵∠C=∠CMP=30°，
∴PM=PC，
而PA=PM，
∴PA=PC．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理．