Question

15．如图，已知等边△ABC，点D在AC的外侧，将BD绕点B顺时针旋转60°至BF，点F与点D相对应，连接AF，AD，AD=2，∠CBD=15°，∠AFB=30°，则AF的长为$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通过作辅助线得到等边三角形，由角的度数知道EF是角的平分线，根据三线合一得到线段的垂直平分线，于是得到△DAB是等腰直角三角形，求得DE，AE的长度，也就求出了DF，再由勾股定理求得EF，从而求出AF．

解答 解：连接DF，延长FA交BD于E，
∵BD绕点B顺时针旋转60°至BF，
∴BD=BF，∠DBF=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴∠BFD=60°，
∵∠BFA=30°，
∴∠DFA=30°，
∴FE垂直平分BD，
∴AD=AB，∵∠ABC=60°∠CBD=15°，
∴∠ABD=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∴DE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$，
∴BD=DF=2$\sqrt{2}$，
∴EF=$\sqrt{{DF}^{2}{-DE}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴AF=EF-AE=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
故答案：$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质三线合一，勾股定理的应用等知识点．