Question

6．矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点O是对称中心，E是边AD上一点（可以与A，D重合），直线OE交另一边于G，以点O为中心将直线EG顺时针旋转90°，与矩形的两边相交于点F，H，设AE=x，四边形EFGH的面积为S．
（1）当点F在边AD上时，四边形EFGH是什么四边形？说明理由；
（2）用含x的代数式表示S，并写出x的取值范围；
（3）若S等于矩形面积的一半，求x的值．

Answer 1

分析 （1）四边形EFGH是菱形，先由矩形ABCD是中心对称图形，O是对称中心，可得OE=OG，OF=OH，进而可证四边形EFGH是平行四边形，然后由EG⊥FH，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判断平行四边形EFGH是菱形；
（2）分3种情况讨论：①当F在边AD上时，即0≤x≤$\frac{3}{2}$，作OM⊥AD于M，如图1，然后表示出OM=1，EM=2-x，然后证明△EMO∽△OMF，进而由相似三角形的对应边成比例，可得$\frac{MF}{OM}=\frac{OM}{EM}$，进而表示出FM=$\frac{1}{2-x}$，EF=2-x+$\frac{1}{2-x}$，最后利用菱形的面积公式计算即可；②当F在边CD上时，即$\frac{3}{2}$＜x≤$\frac{5}{2}$，作OM⊥AD于M，作OM⊥CD于N，如图2，然后同①表示OM=1，ON=2，EM=x-2，然后证明△OME∽△ONF，进而由相似三角形的对应边成比例，可得$\frac{OF}{OE}=\frac{ON}{OM}$=2，进而表示出：OF=2OE，然后在Rt△OME中，由勾股定理表示出OE²=1+（x-2）²，最后利用菱形的面积公式计算即可；③当F在边BC上时，即$\frac{5}{2}＜x≤4$，作OM⊥AD于M，如图3，然后表示OM=1，EM=x-2，然后证明△EMO∽△OMH，进而由相似三角形的对应边成比例，可得$\frac{EM}{OM}=\frac{OM}{MH}$，进而表示出：MH=$\frac{1}{x-2}$，进而表示EH=x-2+$\frac{1}{x-2}$，最后利用菱形的面积公式计算即可；
（3）在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，可得矩形的面积为2×4=8，然后分别令（2）中S=4，即可求出x的值．

解答 解：（1）四边形EFGH是菱形，
理由：∵矩形ABCD是中心对称图形，O是对称中心，
∴OE=OG，OF=OH∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EG⊥FH，
∴平行四边形EFGH是菱形；             
（2）①当F在边AD上时，作OM⊥AD于M，如图1，
则OM=1，EM=2-x，
∵∠EOF=90°，
∴∠OEM+∠OFM=90°，
∵OM⊥AD，
∴∠EMO=∠FMO=90°，
∴∠OEM+∠EOM=90°，
∴∠OFM=∠EOM，
在Rt△EMO和Rt△OMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OFM=∠EOM}\\{∠EMO=∠FMO}\end{array}\right.$，
∴△EMO∽△OMF，
∴$\frac{MF}{OM}=\frac{OM}{EM}$，
即$\frac{FM}{1}=\frac{1}{2-x}$，
∴FM=$\frac{1}{2-x}$，
∴EF=EM+FM=2-x+$\frac{1}{2-x}$，
∴S=2（2-x+$\frac{1}{2-x}$）=4-2x+$\frac{2}{2-x}$，（0$≤x≤\frac{3}{2}$）；
②当F在边CD上时，作OM⊥AD于M，作OM⊥CD于N，如图2，
则OM=1，ON=2，EM=x-2，
∵OM⊥AD于M，作OM⊥CD于N，∠D=90°，
∴四边形MOND是矩形，
∴∠MON=90°，
∴∠MOE+∠EON=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠EON+∠FON=90°，
∴∠MOE=∠FON，
在△OME和△ONF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OME=∠ONF}\\{∠MOE=∠NOF}\end{array}\right.$，
∴△OME∽△ONF，
∴$\frac{OF}{OE}=\frac{ON}{OM}$，
即$\frac{OF}{OE}=\frac{2}{1}=2$，
∴OF=2OE，
在Rt△OEM中，由勾股定理得：
OE²=OM²+ME²=1+（x-2）²，
∴S=$\frac{1}{2}$EG•EF=2•OE•OF=4•OE²=4[1+（x-2）²]=4（x-2）²+4，（$\frac{3}{2}＜x≤\frac{5}{2}$）；      
③当F在边BC上时，作OM⊥AD于M，如图3，
则OM=1，EM=x-2，
∵OM⊥AD，
∴∠HMO=∠EMO=90°，
∴∠MHO+∠MOH=90°，
∵∠HOE=90°，
∴∠MOH+∠MOE=90°，
∴∠MHO=∠MOE，
在△EMO和△OMH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MHO=∠MOE}\\{∠HMO=∠EMO}\end{array}\right.$，
∴△EMO∽△OMH，
∴$\frac{EM}{OM}=\frac{OM}{MH}$，
即：$\frac{x-2}{1}=\frac{1}{MH}$，
∴MH=$\frac{1}{x-2}$，
∴EH=MH+ME=x-2+$\frac{1}{x-2}$，
∴S=2（x-2+$\frac{1}{x-2}$）=2x-4+$\frac{2}{x-2}$，（$\frac{5}{2}＜x≤4$）；
∴用含x的代数式表示S为：$\left\{\begin{array}{l}{S=4-2x+\frac{2}{2-x}（0≤x≤\frac{3}{2}）}\\{S=4（x-2）^{2}+4（\frac{3}{2}＜x≤\frac{5}{2}）}\\{S=2x-4+\frac{2}{x-2}（\frac{5}{2}＜x≤4）}\end{array}\right.$；
（3）∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，
∴S_矩形ABCD=2×4=8，
∵S等于矩形面积的一半，
∴S=8×$\frac{1}{2}$=4，
①当0$≤x≤\frac{3}{2}$时，由4-2x+$\frac{2}{2-x}$=4，
解得：x=1，
②当$\frac{3}{2}＜x≤\frac{5}{2}$时，由4（x-2）²+4=4，
解得：x=2，
③当$\frac{5}{2}＜x≤4$时，由2x-4+$\frac{2}{x-2}$=4，
解得：x=3，
综上所述：x的值为1或2或3．

点评 此题是四边形的综合题，涉及的知识点有：矩形的性质，菱形的判定和菱形的面积公式，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是：问题（2）要分3种情况讨论：①当F在边AD上时，②当F在边CD上时，③当F在边BC上时．