Question

直线y=-

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3

x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y=x+m经过点C，交x轴于点E．
①请直接写出点C、点D的坐标，并求出m的值；
②点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与0、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交AB于M、交CE于N．设线段MN的长度为d，求d与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
③点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，为何值时点P、C、D恰好能组成一个等腰三角形？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由直线的解析式可求出A和B点的坐标，再根据菱形的性质即可求出点C、点D的坐标，把点C的坐标代入直线y=x+m即可求出m的值；
（2）设点M的坐标为（x_M，t），点N的坐标为（x_N，t），首先求出x_M=-

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t+3，再求出x_N=t-9，进而得到d=x_M-x_N=-

3

4

t+3-（t-9）=-

7

4

t+12；
（3）由A和B的坐标可求出AB的长，再分三种情况分别讨论求出符合题意的t值即可．

解答：解：（1）∵直线y=-

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x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A的坐标为（3，0）点B的坐标为（0，4），
∵四边形ABCD是菱形，
∴点C的坐标为（-5，4），点D的坐标为（-2，0），
∵直线y=x+m经过点C，
∴m=9，
（2）∵MN 经过点P（0，t）且平行于x轴，
∴可设点M的坐标为（x_M，t），点N的坐标为（x_N，t），
∵点M在直线AB上，
直线AB的解析式为y=-

4

3

x+4，
∴t=-

4

3

xM+4，得x_M=-

3

4

t+3，
同理点N在直线CE上，直线CE的解析式为y=x+9，
∴t=x_N+9，得x_N=t-9，
∵MN∥x轴且线段MN的长度为d，
∴d=x_M-x_N=-

3

4

t+3-（t-9）=-

7

4

t+12；
（3）∵直线AB的解析式为y=-

4

3

x+4，
∴点A 的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），AB=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=5，
∴点P运动到点B时，△PCD即为△BCD是一个等腰三角形，此时=4；
∵点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，
∴OP=t，PB=|t-4|，
∵点D的坐标为（-2，0），
∴OD=2，由勾股定理得PD²=OD²+OP²=4+t²，
同理，CP²=BC²+BP²=25+（t-4）²，
当PD=CD=5时，PD²=4+t²=25，
∴t=

21

（舍负），
当PD=CP时，PD²=CP²，4+t²=25+（t-4）²，
∴t=

37

8

，
综上所述，t=4，或t=

21

，t=

37

8

时，△PCD均为等腰三角形．

点评：本题是一次函数与菱形相结合的问题，用到的知识点有勾股定理的运用，等腰三角形的判定和性质，其中在图形中渗透运动的观点是中考中经常出现的问题．