Question

19．通过计算发现：
15×15=225=1×2×100+25；
25×25=625=2×3×100+25；
35×35=1225=3×4×100+25；
（1）请根据上述发现，试填空：
45×45=2025=4×5×100+25；
（2）请你根据上述发现，写出一般规律，并用整式的运算证明；
（3）请利用（2）中一般规律，计算1005×1005．

Answer 1

分析 （1）观察前三个等式发现等式最后面100前面的两个数为最前面因数十位数字以及十位数字加一，依此即可得出第四个等式；
（2）结合（1）即可得出一般规律式，再将其等式左边展开，计算后得到等式右边，由此即可证出该一般规律式成立；
（3）根据一般规律式可知当等式左边为1005×1005时，n值为100，代入数据即可得出结论．

解答 解：（1）∵15×15=225=1×2×100+25；25×25=625=2×3×100+25；35×35=1225=3×4×100+25；
∴45×45=2025=4×5×100+25．
故答案为：2025；4；5．
（2）∵15×15=225=1×2×100+25；25×25=625=2×3×100+25；
35×35=1225=3×4×100+25；45×45=2025=4×5×100+25；
∴一般规律式为（10n+5）²=100n（n+1）+25（n为自然数）．
证明：等式左边=（10n+5）²，
=（10n）²+2×10n×5+5²，
=100n²+100n+25，
=100n（n+1）+25=等式右边．
（3）1005×1005=（10×100+5）²=100×100×101+25=1010025．

点评 本题考查了规律型中数字的变化类，解题的关键是：（1）根据等式的变化找出第四个等式；（2）根据等式的变化找出等式变化的一般规律式；（3）根据规律式找出当等式左边为1005×1005时，n值为100．