Question

17．如图，已知抛物线y=-x²+px+q的对称轴为x=-3，过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N（-1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（0，2）．

Answer 1

分析 首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使△PMN的周长最小，MN的长度一定，所以只需（PM+PN）取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（如图2）．

解答 解：如图，∵抛物线y=-x²+px+q的对称轴为x=-3，点N（-1，1）是抛物线上的一点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{p}{2}=-3}\\{-1-p+q=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-6}\\{q=-4}\end{array}\right.$．
∴该抛物线的解析式为y=-x²-6x-4=-（x+3）²+5，
∴M（-3，5）．
∵△PMN的周长=MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小．
如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P．则M′（3，5）．
设直线M′N的解析式为：y=ax+t（a≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{5=3a+t}\\{1=-a+t}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{t=2}\end{array}\right.$，
故该直线的解析式为y=x+2．
当x=0时，y=2，即P（0，2）．
同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（-$\frac{4}{3}$，0）．
如果点P在y轴上，则三角形PMN的周长=4$\sqrt{2}$+MN；如果点P在x轴上，则三角形PMN的周长=2$\sqrt{10}$+MN；
所以点P在（0，2）时，三角形PMN的周长最小．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，2）．
故答案为（0，2）．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P，不要漏解，这是同学们容易忽略的地方．