Question

【题目】如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点是(1，4)，且图象过点A(3，0)，与y轴交于点B.

（1）求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式；

（2）求直线AB的解析式；

（3）在直线AB上方的抛物线上是否存在一点C，使得S△ABC=.如果存在，请求出C点的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y= -x2+2x+3；（2）y=﹣x+3；（3）（，）.

【解析】

（1）先把点(1，4)代入y＝ax2＋bx＋c化成顶点式，再把 A(3，0)代入y＝ax2＋bx+c；

（2）设直线AB的解析式为：y=kx+t，再将A（3,0）和B（0,3）代入即可；

（3）设C（x, -x2+2x+3）其中x＞0，过C作CD∥y轴，交AB于D点，则D坐标为（x,-x+3），

再根据△ABC的面积求解.

解：（1）∵ (1，4) 是二次函数的顶点，

∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+4，

又∵图象过点A(3，0)，

∴代入可得4a+4=0，解得a=-1

∴y= -(x-1)2+4= -x2+2x+3，

（2）由上可知，B为（0,3），

设直线AB的解析式为：y=kx+t，

将A（3,0）和B（0,3）代入可得k=-1,b=3，

∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3 ，

（3）∵C在直线AB上方的抛物线上，

∴可设C（x, -x2+2x+3）其中x＞0，

过C作CD∥y轴，交AB于D点.

则D坐标为（x,-x+3），

又∵S△ABC=，∴ [（-x2+2x+3）-（-x+3）]×3=，

解得x1=x2=，代入-x2+2x+3得，

∴C点坐标为（，）.