Question

阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，试判定△ABC的形状.
解：∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴   ①
∴c²(a²-b²)=(a²+b²)(a²-b²)       ②
∴c²=a²+b²                      ③
∴△ABC是直角三角形
问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？
请写出该步的序号：_________；
错误的原因为_________；
本题正确的结论是_________

Answer 1

③  a²－b²可以为零  △ABC为等腰三角形或直角三角形
试题分析：由于②到③时等式两边都除以了a²-b²，如果a²-b²=0，根据等式的性质可知，此时不一定有③成立．
由a⁴+b²c²=b⁴+a²c²得：
a⁴-b⁴=a²c²-b²c²，
（a²+b²）（a²-b²）=c²（a²-b²），
∴（a²+b²）（a²-b²）-c²（a²-b²）=0，
∴（a²-b²）（a²+b²-c²）=0，
∴a²-b²=0或a²+b²-c²=0，
即a=b或c²=a²+b²，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
考点：本题考查的是勾股定理的逆定理
点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形