Question

已知x₁，x₂是方程2x²-3x=1的两根．
（1）求+，（x₁-3）（x₂-3）和（x₁-x₂）²的值；
（2）如果有个方程的两根恰好分别是x₁，x₂的2倍，那么你会求这个方程吗？

Answer 1

解：（1）方程变形为2x²-3x-1=0，
根据题意得x₁+x₂=，x₁•x₂=-，
∴+===-3；
（x₁-3）（x₂-3）=x₁•x₂-3（x₁+x₂）+9=--3×+9=4；
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（）²-4×（-）=；
（2）根据题意得新方程的两根为2x₁，2x₂，
∵2x₁+2x₂=2（x₁+x₂）=2×=3，2x₁•2x₂=4x₁•x₂=4×（-）=-2，
∴所求新方程为x²-3x-2=0．
分析：（1）先把方程化为一般式，利用根与系数得关系得到得x₁+x₂=，x₁•x₂=-，然后利用代数式变形得到+=；（x₁-3）（x₂-3）=x₁•x₂-3（x₁+x₂）；
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，再分别利用整体代入的方法计算；
（2）新方程的两根为2x₁，2x₂，再计算2x₁+2x₂，2x₁•2x₂，然后根据根与系数的关系写出方程．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．