Question

如图，直线段AB的长为l，C为AB上的一个动点，分别以AC和BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCD′，那么DD′的长的最小值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的最值,勾股定理,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：设AC=x，BC=l-x，∵△ABC，△BCD^′均为等腰直角三角形，∴CD=

2

2

x，CD^′=

2

2

（l-x），∵∠ACD=45°，∠BCD^′=45°，∴∠DCD′=90°，根据勾股定理然后用配方法即可求解．

解答：解：设AC=x，BC=l-x，
∵△ABC，△BCD^′均为等腰直角三角形，
∴CD=

2

2

x，CD^′=

2

2

（l-x），
∵∠ACD=45°，∠BCD^′=45°，
∴∠DCD′=90°，
∴DD′²=CD²+CD′²=

1

2

x²+

1

2

（l-x）²
=x²-lx+

1

2

l²=(x-

1

2

l)2+

1

4

l²，
∴当x取

1

2

l时，DD′取最小值，最小值为：

1

2

l．
故答案为：

1

2

l．

点评：本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．