Question

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的角平分线，交AC于点D，CE⊥AB于点E，交BD于点O，过O点作FG∥AB，交BC于点F，交AC于点G．
求证：CD=GA．

Answer 1

分析：过点D作DH⊥AB于H，先求出∠3=∠5，推出DC=OC，再证△COG≌△DHA，推出CG=AD，都减去DG即可得出答案．

解答：证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠BCD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEO=90°，
∴∠2+∠4=90°
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴OC=DC，
过点D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DH⊥AB于H，DC⊥BC于C，
∴DC=DH，
∵DC=OC，
∴OC=DH，
∵FG∥AB，
∴∠6=∠A，
∵DH⊥AB，CE⊥AB，
∴DH∥CE，
∴∠ADH=∠GCE，
∵在△COG和△DHA中

∠6=∠A ∠GCO=∠ADH CO=DH

∴△COG≌△DHA，
∴CG=DA，
∴CG-CD=DA-DG，
即CD=AG．

点评：本题考查了角平分线性质，定义三角形性质，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力，综合性比较强，有一定的难度．