Question

8．已知x₁，x₂是方程3x²-2x-7=0的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）x₁²x₂+x₁x₂²；（2）（x₁-x₂）²；（3）（x₁+$\frac{1}{{x}_{2}}$）（x₂+$\frac{1}{{x}_{1}}$）；（4）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{2}{3}$，x₁x₂=-$\frac{7}{3}$，再利用代数式变形得到x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂（x₁+x₂），（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，（x₁+$\frac{1}{{x}_{2}}$）（x₂+$\frac{1}{{x}_{1}}$）=x₁x₂+2+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，然后分别利用整体代入的方法计算即可．

解答 解：x₁+x₂=$\frac{2}{3}$，x₁x₂=-$\frac{7}{3}$，
（1）x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂（x₁+x₂）=-$\frac{7}{3}$×$\frac{2}{3}$=-$\frac{14}{9}$；
（2）（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（$\frac{2}{3}$）²-4×（-$\frac{7}{3}$）=$\frac{88}{9}$；
（3）（x₁+$\frac{1}{{x}_{2}}$）（x₂+$\frac{1}{{x}_{1}}$）=x₁x₂+2+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{7}{3}$+2-$\frac{3}{7}$=-$\frac{16}{21}$；
（4）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（\frac{2}{3}）^{2}-2×（-\frac{7}{3}）}{-\frac{7}{3}}$=-$\frac{46}{21}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．