Question

19．如图，在?ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．求证：四边形AFCE是平行四边形．

Answer 1

分析 连接AC交BD于点O，由平行四边形的性质可证明△AED≌△CFB，则可求得DE=BF，从而可求得OE=OF，可证得结论．

解答 证明：
连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB，
在△AED和△CFB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CFB}\\{∠ADE=∠CBF}\\{AD=BC}\end{array}\right.$
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴DE=BF，
∴OD-DE=OB-BF，即OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．

点评 本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行四边形?平行四边形，②两组对边分别相等的四边形?平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形?平行四边形，④两组对角分别相等的四边形?平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形?平行四边形．