Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/秒；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/秒，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．
（1）当t为何值时，PM∥BC？
（2）设四边形PQCM的面积为ycm²，求y与t之间的函数关系式；
（3）已知某一时刻t，有S_{四边形PQCM}=

3

4

S_△ABC成立，请你求出此时t的值．

Answer 1

分析：（1）假设PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；
（2）过点P作PE垂直AC．由PQ运动的速度和时间t可知线段BP=t，根据PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知三角形BPQ也为等腰三角形，即BP=PQ=t，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代数式就可以表示出BF，进而得到梯形的高PE=DF=8-t，又点M的运动速度和时间可知点M走过的路程AM=2t，所以梯形的下底CM=10-2t．最后根据梯形的面积公式即可得到y与t的关系式；
（3）根据三角形的面积公式，先求出三角形ABC的面积，又根据S_{四边形PQCM}=

3

4

S_△ABC，求出四边形PQCM的面积，从而得到了y的值，代入第二问求出的y与t的解析式中求出t的值即可；

解答：解：（1）∵当PM∥BC时，△APM∽△ABC，
∴AP=AM，
∴10-t=2t，
∴t=

10

3

（秒）

（2）∵四边形PQCM为梯形，y=

1

2

（PQ+MC）DF，
∵PQ=PB=t，MC=10-2t，BF：BD=BP：AB
∴BF=

8×t

10

=

4

5

t，
∴DF=8-

4

5

t
∴y=

1

2

(t+10-2t)•(8-

4

5

t)=

2

5

t2-8t+40 

（3）

2

5

t2-8t+40=40×

3

4

，
解得t=10±5

3

10+5

3

不合题意舍去，
∴当t=10-5

3

秒时，使S_{四边形PQCM}=

3

4

S_△ABC成立

点评：本题综合考查了三角形相似的判定与性质，第二问的解题关键是根据相似三角形的高之比等于对应边之比得出比例，进而求出关系式．