Question

16．如图，在正方形ABCD中，P为AB上一点，过B点作PC的垂线，垂足H，过H作HQ⊥DH交BC于Q．求证：BP=BQ．

Answer 1

分析 首先得出△HBQ∽△HCD，可得出$\frac{BQ}{BH}$=$\frac{CD}{HC}$，而在Rt△BCP，通过相似三角形△BPH和△CPH，可得出$\frac{BP}{BH}$=$\frac{BC}{HC}$，联立两个比例关系式，即可得出所证的结论．

解答 证明：∵BH⊥PC，
∴∠HBC+∠HCB=90°，
又∵∠HCB+∠HCD=90°，
∴∠HBC=∠HCD，
∵HD⊥HQ，
∴∠DHQ=90°，
∵∠BHC=∠BHQ+∠CHQ=90°，∠DHQ=∠DHC+∠CHQ=90°，
∴∠BHQ=∠DHC，
∴△HBQ∽△HCD（两角对应相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BQ}{BH}$=$\frac{CD}{HC}$，
又∵BH⊥PC，
∴△HBP∽△HCB，
∴$\frac{BP}{BH}$=$\frac{BC}{HC}$，
∵BC=CD，
∴$\frac{BQ}{BH}$=$\frac{BP}{BH}$，
∴BQ=BP．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，难度适中，关键是掌握相似三角形的判定方法．