Question

在△ABC中，BO平分∠ABC，点P为直线AC上一动点，PO⊥BO于点O．

（1）如图1，当∠ABC=40°，∠BAC=60°，点P与点C重合时，∠APO=______；
（2）如图2，当点P在AC延长线时，求证：∠APO=（∠ACB-∠BAC）；
（3）如图3，当点P在边AC所示位置时，请直接写出∠APO与∠ACB，∠BAC等量关系式______．

Answer 1

解：（1）∵∠ABC=40°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-40°-60°=80°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠OBC=×40°=20°，
∵PO⊥BO，
∴∠OCB=90°-∠OBC=90°-20°=70°，
∴∠APO=∠ACB-∠OCB=80°-70°=10°；

（2）如图，作射线AO，
则∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，
所以，∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，
∵PO⊥BO，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2+∠5+∠P=90°，
即∠BAC+∠2+∠P=90°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠2=∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB，
∴∠2=（180°-∠BAC-∠ACB），
∴∠APO=90°-∠BAC-∠2=90°-∠BAC-（180°-∠BAC-∠ACB）=（∠ACB-∠BAC）；

（3）
∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=（180°-∠BAC-∠ACB）．
∵PO⊥BO，∴∠APO=90°+（∠ABO+∠BAC）
=90°+（180°-∠BAC-∠ACB）+∠BAC
=180°+（∠BAC-∠ACB），
即∠APO=180°+（∠BAC-∠ACB）．
故答案为：（1）10°；（3）∠APO=180°+（∠ACB-∠BAC）．
分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OBC，然后求出∠OCB，再根据∠APO=∠ACB-∠OCB计算即可得解；
（2）作射线AO，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，从而得到∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，再根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义用∠ACB和∠BAC表示出∠2，代入整理即可得解；
（3）用∠ACB和∠BAC表示出∠OBC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，难度中等，熟记性质并准确识图是解题的关键．