分析 （1）如图1，连接AC，根据菱形的性质证明△ABC和△ACD是等边三角形，得∠B=∠ACQ，AB=AC，根据两动点运动的速度相等可知：BP=CQ=t，证明△ABP≌△ACQ，得AP=AQ及∠PAQ=60°，所以△APQ为等边三角形；
（2）如图2，延长QP交AB的延长线于点M，先根据时间为1计算BP和CP的长，再根据AM∥CD，列比例式：$\frac{BM}{CQ}=\frac{BP}{PC}$和$\frac{AK}{KC}=\frac{AM}{CQ}$，先求BM的长，再求AK；
（3）作辅助线，构建高线，设BE=x，先证明△BEP∽△CPF，求FC、BE、AE和AF的长，根据特殊角的三角函数值求高线GF、EH的长，证明PQ与FC垂直，利用面积差求S△EPF的面积．
解答 解：（1）△APQ为等边三角形，理由是：
如图1，连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
同理可得：△ACD是等边三角形，
∴∠B=∠ACQ=60°，
∵AB=AC，BP=CQ=t，
∴△ABP≌△ACQ，
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，
∵∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠CAQ+∠PAC=60°，
即∠PAQ=60°，
∴△APQ为等边三角形；
（2）如图2，当t=1时，BP=CQ=1，CP=3，
延长QP交AB的延长线于点M，
∵AM∥CD，
∴$\frac{BM}{CQ}=\frac{BP}{PC}$，
∴$\frac{BM}{1}=\frac{1}{3}$，
∴BM=$\frac{1}{3}$，
∴AM=AB+BM=4+$\frac{1}{3}$=$\frac{13}{3}$，
∵AM∥CD，
∴$\frac{AK}{KC}=\frac{AM}{CQ}$，
∴$\frac{AK}{KC}=\frac{\frac{13}{3}}{1}$=$\frac{13}{3}$，
∴$\frac{AK}{AC}=\frac{13}{16}$，
∴$\frac{AK}{4}=\frac{13}{16}$，
∴AK=$\frac{13}{4}$，
则AK的长是$\frac{13}{4}$；
（3）如图3，设旋转α度，则∠NPQ=∠APE=α，
设BE=x，
当t=2时，BP=PC=2，
∵P是BC的中点，△ABC是等边三角形，
∴AP⊥BC，
∴∠APC=90°，
∴∠FPC=90°-∠APN=90°-（60°-α）=30°+α，
∵∠PEB=∠BAP+∠APE=30°+α，
∴∠PEB=∠FPC，
∵∠B=∠FCP，
∴△BEP∽△CPF，
∴$\frac{BE}{PC}=\frac{BP}{CF}$，
∴$\frac{x}{2}=\frac{2}{CF}$，
∴CF=$\frac{4}{x}$，
∵AD∥BC，
∴$\frac{AN}{CP}=\frac{AF}{FC}$，
∴$\frac{1}{2}=\frac{AF}{FC}$，
∴$\frac{1}{3}=\frac{AF}{AC}=\frac{AF}{4}$，
∴AF=$\frac{4}{3}$，FC=$\frac{8}{3}$，
则$\frac{4}{x}=\frac{8}{3}$，x=$\frac{3}{2}$，
∴BE=$\frac{3}{2}$，
∴AE=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
过F作FG⊥AB于G，过E作EH⊥BC于H，
sin60°=$\frac{FG}{AF}$，sin60°=$\frac{EH}{BE}$，
FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
在△PCQ中，∠PCQ=120°，
∵PC=CQ，
∴∠QPC=∠PQC=30°，
∵∠PCM=60°，
∴∠PMC=90°，
∴PM=$\sqrt{3}$，
∴S△PEF=S△ABC-S△AEF-S△PEB-S△PFC，
=$\frac{1}{2}$BC•AP-$\frac{1}{2}$AE•GF-$\frac{1}{2}$PB•EH-$\frac{1}{2}$FC•PM，
=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{2}×2×\frac{3\sqrt{3}}{4}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×$\sqrt{3}$，
=$\frac{13\sqrt{3}}{12}$．
点评 本题是四边形的综合题，考查了菱形、全等三角形、等边三角形的性质和判定；第（1）问中能证明△ABP≌△ACQ是突破口；第（2）问恰当地作辅助线，构建平行线分线段成比例定理是关键；第（3）利用三角形相似求边的长度，分别求三角形的高线，代入面积公式可得结论．
培优口算题卡系列答案
开心口算题卡系列答案
口算题卡河北少年儿童出版社系列答案科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | a＞3 | B． | a＜3且a≠-1 | C． | a＜3 | D． | a≥3且a≠-1 |
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com
数轴上有b，0，1，a的四个数，如图所示，已知|a|=|b|，化简：|b+1|+|$\frac{a}{b}$|-|a+b|．