Question

17．某校数学兴趣小组在研究二次函数及其图象问题时，发现了三个结论：
①抛物线y=ax²+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线l₁上；
②抛物线y=x²+bx+3，当实数b变化时，它的顶点都在某条抛物线f₁上
③如图1，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），顶点为C，若△ABC为直角三角形，则b²-4ac=m
（1）求直线l₁的解析式；
（2）求抛物线f₁的解析式及m的值；
（3）如图2，将直线l₁沿y轴向下平移k个单位得直线l₂，抛物线f₁沿直线l₁平移得抛物线f₂，若直线l₂与抛物线f₂两个交点P、Q间的距离不小于5$\sqrt{2}$，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先找出抛物线的顶点坐标，找出顶点坐标的纵横坐标的关系即可；
（2）同（1）的方法即可得出结论；进而有抛物线的对称性判断出△ABC是等腰三角形，进而得出此三角形为等腰直角三角形，即可求出m的值；
（3）先表示出l₂的解析式和设出f₂的解析式，联立利用韦达定理求出PQ²即可建立不等式，求出k的范围．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+2x+3，
∴顶点坐标的横坐标为：x=-$\frac{2}{2a}$=-$\frac{1}{a}$，纵坐标为：y=$\frac{4a×3-4}{4a}$=$\frac{3a-1}{a}$=3-$\frac{1}{a}$，
∴直线l₁的解析式为：y=x+3；
（2）∵抛物线y=x²+bx+3，
∴顶点坐标的横坐标为：x=-$\frac{b}{2}$，纵坐标为：y=$\frac{4×1×3-{b}^{2}}{4×1}$=3-$\frac{{b}^{2}}{4}$，
∴抛物线f₁的解析式为：y=3-x²=-x²+3，
∵二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{b}{a}）^{2}-4×\frac{c}{a}}$=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{a}$
∵△ABC为直角三角形，则b²-4ac=m，
∴AB=$\frac{\sqrt{m}}{a}$，
∵CM=-$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{{b}^{2}-4ac}{4a}$=$\frac{m}{4a}$，
∵点A，B是抛物线与x轴的交点，而△ABC是直角三角形，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴CM=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{m}{4a}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{m}}{a}$，
∴m=0（舍）或m=4，
（3）由（1）知，直线l₁的解析式为：y=x+3；
∴将直线l₁沿y轴向下平移k个单位得直线l₂的解析式为：y=x+3-k①，
设抛物线f₁的解析式为：y=-x²+3沿直线l₁（y=x+3）平移得到抛物线f₂的解析式为：y=-（x-m）²+m+3②，
联立①②得，x²+（1-2m）x+m²-m-k=0，
∴x₁+x₂=2m-1，x₁x₂=m₂-m-k，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（2m-1）²-4（m²-m-k）=4k+1，
∴y₁-y₂=x₁+3-k-（x₂+3-k）=x₁-x₂，
∴PQ²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（x₁-x₂）²=2（4k+1），
∵P、Q间的距离不小于5$\sqrt{2}$，
∴PQ²≥50，
∴2（4k+1）≥50，
∴k≥6．
直线l₂与抛物线f₂两个交点P、Q间的距离不小于5$\sqrt{2}$，k的取值范围是k≥6．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标公式和寻找函数关系式，等腰直角三角形的性质和判定，韦达定理，利用韦达定理是解本题的关键，消掉参数是解本题的难点．