Question

10．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）求证：四边形ADCE是菱形；
（3）若AB=AO，求$\frac{OD}{OA}$的值．

Answer 1

分析 （1）先判定四边形ABDE为平行四边形，再判定四边形ADCE为平行四边形，即可得出AD=EC；
（2）根据四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，即可得出平行四边形ADCE为菱形；
（3）先判定OD为△ABC的中位线，得出$OD=\frac{1}{2}AB$，再根据AB=AO，得出$OD=\frac{1}{2}AO$即可．

解答 解：（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AE=BD，
∵在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，
∴AD=CD=BD，
∴AE=CD，
又∵AE∥CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∴AD=EC；

（2）由（1）可知，四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，
∴平行四边形ADCE为菱形；

（3）∵四边形ADCE为平行四边形，
∴AC与ED互相平分，
∴点O为AC的中点，
∵AD是边BC上的中线，
∴点D为BC边中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴$OD=\frac{1}{2}AB$，
∵AB=AO，
∴$OD=\frac{1}{2}AO$，
即$\frac{OD}{OA}$的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，以及直角三角形斜边中线的性质．解题时注意，凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再用三角形全等来证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．三角形的中位线等于第三边的一半，这是得出线段长度之比的依据．