Question

已知抛物线y=3ax²+2bx+c
（1）若a=b=1，c=-1，求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若a+b+c=1，是否存在实数x₀，使得相应的y=1？若有，请指明有几个并证明你的结论；若没有，阐述理由；
（3）若a=，c=2+b且抛物线在-1≤x≤2区间上的最小值是-3，求b的值．

Answer 1

解：（1）当a=b=1，c=-1，时，抛物线为y=3x²+2x-1，
∵方程3x²+2x-1=0的两个根为x₁=-1，x₂=，
∴该抛物线与x轴交点的坐标是（-1，0）和（，0）；

（2）由y=1得3ax²+2bx+c=1，
△=4b²-12a（c-1）
=4b2-12a（-a-b）
=4b²+12ab+12a²
=4（b²+3ab+3a²）
=4[（b+a）²+a²]，
∵a≠0，
∴△＞0，
∴方程3ax²+2bx+c=1有两个不相等实数根，
即存在两个不同实数x₀，使得相应y=1；

（3）a=，c-b=2，则抛物线可化为y=x²+2bx+b+2，其对称轴为x=-b，
当x=-b＜-1时，即b＞1，则有抛物线在x=-1时取最小值为-3，
此时-3=（-1）²+2×（-1）b+b+2，
解得：b=6，符合题意；
当x=-b＞2时，即b＜-2，则有抛物线在x=2时取最小值为-3，
此时-3=2²+2×2b+b+2，
解得：b=-，不合题意，舍去．
当-1≤-b≤2时，即-2≤b≤1，则有抛物线在x=-b时取最小值为-3，
此时-3=（-b）²+2×（-b）b+b+2，
化简得：b²-b-5=0，
解得：b=（不合题意，舍去），b=，
综上可得：b=6或b=．
分析：（1）将a、b、c的值代入，可得出抛物线解析式，从而可求解抛物线与x轴的交点坐标；
（2）由y=1得3ax²+2bx+c=1，表示出方程的判别式的表达式，利用配方法及完全平方的非负性即可判断出结论；
（3）a=，c-b=2，则抛物线可化为y=x²+2bx+b+2，其对称轴为x=-b，以-1≤x≤2为区间，讨论b的取值，根据最小值为-3，可得出方程，求出b的值即可．
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了一元二次方程的解，求根公式及根与系数的关系，解答本题的难点在第三问，关键是分类讨论，此题难度较大．