Question

7．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长；
（3）若⊙O的半径为r，AE=2，求CD的长（用含r的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）连接FO，由F为BC的中点，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．
（2）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果．
（3）如图3中，作AG⊥DE于G．由AG²=OA²-OG²=AE²-EG²，求出OG、AG，再利用△AGO∽△DCO，得$\frac{CD}{AG}$=$\frac{OC}{OG}$，求出CD即可．

解答 证明：（1）如图1，连接FO，

∵F为BC的中点，AO=CO，
∴OF∥AB，
∵AC是⊙O的直径，
∴CE⊥AE，
∵OF∥AB，
∴OF⊥CE，
∴OF所在直线垂直平分CE，
∴FC=FE，OE=OC，
∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，
∵∠ACB=90°，
即：∠0CE+∠FCE=90°，
∴∠0EC+∠FEC=90°，
即：∠FEO=90°，
∴FE为⊙O的切线；

（2）如图2，

∵⊙O的半径为3，
∴AO=CO=EO=3，
∵∠EAC=60°，OA=OE，
∴∠EOA=60°，
∴∠COD=∠EOA=60°，
∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，
∴CD=3$\sqrt{3}$，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
CD=3$\sqrt{3}$，AC=6，
∴AD=3$\sqrt{7}$．

（3）如图3中，作AG⊥DE于G．

∵AG²=OA²-OG²=AE²-EG²，
∴r²-OG²=2²-（r-OG）²，
∴OG=$\frac{{r}^{2}-2}{r}$，AG=$\frac{2}{r}$$\sqrt{{r}^{2}-1}$，
∵∠AOG=∠COD，∠AGO=∠OCD，
∴△AGO∽△DCO，
∴$\frac{CD}{AG}$=$\frac{OC}{OG}$，
∴CD=$\frac{2r\sqrt{{r}^{2}-1}}{{r}^{2}-2}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握应用所学知识是解题的关键．