Question

如图：在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）求∠PBQ的度数．

Answer 1

（1）证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAE=60°，
在△ADC和△BEA中，
，
∴△ADC≌△BEA（SAS）；

（2）解：∵△ADC≌△BEA，
∴∠CAD=∠ABE，
∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°．
分析：（1）由在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，易得∠C=∠BAE=60°，则可利用SAS证得：△ADC≌△BEA；
（2）由全等三角形的对应角相等，即可得∠CAD=∠ABE，继而可得∠BPD=∠BAC=60°，又由BQ⊥AD，即可求得∠PBQ的度数．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．