Question

17．如图，点A、B、D、C都在圆上$\widehat{BD}$=$\widehat{DC}$，AD与BC相交于点E．
（1）图中一共有3对相似三角形；
（2）若AB=6，AC=4，AE=3，试求AD、CD的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理容易得出结论；
（2）由相似三角形的对应边成比例求出AD，得出DE，即可求出CD的长．

解答 解：（1）图中一共有3对相似三角形；理由如下：
∵$\widehat{BD}$=$\widehat{DC}$，
∴∠BAD=∠BCD=∠DAC，
∵∠B=∠D，
∴△ABE∽△CDE∽△ADC，图中共有3对相似三角形，
故答案为：3；
（2）∵△ABE∽△ADC∽△CDE，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{CD}{DE}=\frac{AD}{CD}$，
即$\frac{6}{AD}=\frac{3}{4}$，
解得：AD=8，
∴DE=AD-AE=5，
∴$\frac{CD}{5}=\frac{8}{CD}$，
解得：CD=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似是解决问题的关键．