Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆⊙O与AC交于F点，过A作DF的垂线交DF的延长线于点E．
（1）试判断AE与⊙O的位置关系；
（2）若斜边BC=12，求AC•AF的值．

Answer 1

解：（1）AE与⊙O相切．
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，D是BC的中点，
∴∠ABD=60°，AD=BD=DC．
∴△ABD为等边三角形．
∴O点是△ABD的中心．
连接OA、OB，∠BAO=∠OAD=30°，∠OAC=60°．
又四边形ABDF内接于圆O，∠BAC=90°，
∴BF是⊙O的直径，即B、O、F三点共线，
∴∠BDF=∠FDC=∠BAC=90°．
∵AE⊥DE，
∴AE∥BC．
∴∠EAF=∠C=30°．
∴∠OAE=90°．
∴AE是⊙O的切线；

（2）由（1）知：△ABD为等边三角形，
∴∠ADB=60°．
∴∠ADF=∠C=30°，
∴∠FAD=∠DAC，
∴△ADF∽△ACD，
∴．
∴AD²=AC•AF．
又AD=BC=6，
∴AC•AF=36．
分析：（1）根据条件判断三角形ABD为等边三角形，进而判断BF为四边形外接圆的直径，在判断AE∥BC，从而得到结论．
（2）由（1）得到ABD为等边三角形，有以上关系求得△ADF与△ACD相似，得到关系而求得．
点评：本题考查切线的判定和性质，（1）从判定等边三角形ABD到AE⊥DE，再到AE∥BC，而得到结论．（2）由（1）知三角形ABD为等边三角形，判断三角形ADF与三角形ACD相似，得到关系式而求得．