Question

2．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK₁K₂K₃K₄K₅K₆K₇…叫做“正六边形的渐开线”，其中$\widehat{F{K}_{1}}$，$\widehat{{K}_{1}{K}_{2}}$，$\widehat{{K}_{2}{K}_{3}}$，$\widehat{{K}_{3}{K}_{4}}$，$\widehat{{K}_{4}{K}_{5}}$…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，分别记为l₁，l₂，l₃，l₄，l₅，l₆…当AB=1时，l₂₀₁₂等于$\frac{2012π}{3}$．

Answer 1

分析 如图，根据题意可以发现、判断，l_n的半径为n，圆心角为60°，运用弧长公式即可解决问题．

解答 解：如图，∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAK₁=180°-120°=60°；同理可求l₂、l₃…l₂₀₁₂的圆心角均为60°
∴${l}_{1}=\frac{60π•1}{180}=\frac{π}{3}$，${l}_{2}=\frac{60π•2}{180}=\frac{2π}{3}$，${l}_{3}=\frac{60π•3}{180}$=$\frac{3π}{3}$，
∴可以猜测：${l}_{n}=\frac{60π•n}{180}$，
∴${l}_{2012}=\frac{60π•2012}{180}$=$\frac{2012π}{3}$．
故答案为$\frac{2012π}{3}$．

点评 该题主要考查了弧长公式及其应用问题；为一道基础题；为考查弧长公式应用能力的一道好题．