Question

如图，梯形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，AB⊥OA，二次函数
y=mx²-mx+2的图象经过A、B、C三点．
（1）求点A、B的坐标；
（2）当AC⊥OB时，求二次函数的解析式．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=mx²-mx+2的图象与y轴相交于A，
∴点A的坐标为 （0，2），
∵AB⊥OA，∴点B的纵坐标为2，
∵点B在二次函数y=mx²-mx+2的图象上，
∴2=mx²-mx+2，
∴mx（x-1）=0，
∵m≠0，
∴x₁=0，x₂=1，
其中x₁=0，
∴点B的坐标为 （1，2 ）．

（2）∵AC⊥OB，
∴∠ACO=90°-∠BOC=∠AOB，
在 Rt△AOB中，OA=2，AB=1，
∴cot∠AOB==2，
在Rt△AOC中，OC=OA•cot∠ACO=OA•cot∠AOB=2×2=4，
∴点C（4，0），
∵C在二次函数y=mx²-mx+2的图象上，
∴0=16m-4m+2，
∴m=-，
∴二次函数解析式为y=-x²+x+2．
分析：（1）根据点A在y轴上，代入函数解析式可得出点A的坐标，再根据x轴的正半轴上，AB⊥OA，可得出点B的纵坐标，代入函数解析式后讨论m的值可得出点B的坐标．
（2）在Rt△AOB中和Rt△AOC中，利用解三角形的知识分别求出OC的长度，从而得出点C的坐标，代入可得出二次函数的解析式．
点评：此题考查了二次函数的综合题，解答本题的关键是熟练待定系数法的运用及线段长度与点的坐标的转换，综合性较强，难度较大．