Question

阅读资料：小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：
如图1，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、OC．
因为PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠1=∠2．
又因为∠B=∠1，所以∠B=∠2．
在△PAC与△PCB中，又因为：∠P=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以

PA

PC

=

PC

PB

，即PC²=PA•PB．
问题拓展：
（Ⅰ）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2）等式PC²=PA•PB，还成立吗？请证明你的结论；
综合应用：
（Ⅱ）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P；
（1）当AB=PA，且PC=12时，求PA的值；
（2）D是BC的中点，PD交AC于点E．求证：

PC2

PA2

=

CE

AE

．

Answer 1

考点：圆的综合题,圆周角定理,切线的性质,相似三角形的性质

专题：压轴题,阅读型,数形结合

分析：（Ⅰ）证法一：如图2-1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，易证得△PBD∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得PA•PB=PD•PE，由图1知，PC ²=PD•PE，即可证得结论；
证法二：如图2-2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，由PC是⊙O的切线，易证得△PBC∽△PCA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（Ⅱ）（1）由（1）得，PC ²=PA•PB，PC=12，AB=PA，即可求得PC ²=PA•PB=PA（PA+AB）=2PA²，继而求得答案；
（2）证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，由平行线分线段成比例定理即可求得

PB

PA

=

BD

AF

，

CD

AF

=

CE

AE

，又由PC ²=PA•PB，即可证得结论；
证法二：过点A作AG∥DP，交BC于点G，由平行线分线段成比例定理即可求得

PB

PA

=

BD

GD

，

CD

DG

=

CE

AE

，又由PC ²=PA•PB，即可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）当PB不经过⊙O的圆心O时，等式PC ²=PA•PB仍然成立．
证法一：如图2-1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，
∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE，
∴△PBD∽△PEA，
∴

PD

PA

=

PB

PE

，
即PA•PB=PD•PE，
由图1知，PC²=PD•PE，
∴PC²=PA•PB．

证法二：如图2-2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥CD，
∴∠CAD=∠PCD=90°，
即∠1+∠2=90°，∠D+∠1=90°，
∴∠D=∠2．
∵∠D=∠B，
∴∠B=∠2，
∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
所以

PA

PC

=

PC

PB

，
即PC ²=PA•PB．

（Ⅱ）由（1）得，PC²=PA•PB，PC=12，AB=PA，
∴PC²=PA•PB=PA（PA+AB）=2PA²，
∴2PA²=144，
∴PA=±6

2

（负值无意义，舍去）．
∴PA=6

2

．

（2）证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，
∴

PB

PA

=

BD

AF

，

CD

AF

=

CE

AE

．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴

BD

AF

=

CD

AF

，
∴

PB

PA

=

CE

AE

．
∵PC ²=PA•PB，
∴

PC2

PA2

=

PA•PB

PA2

=

PB

PA

=

CE

AE

，
即

PC2

PA2

=

CE

AE

．

证法二：过点A作AG∥DP，交BC于点G，
∴

PB

PA

=

BD

GD

，

CD

DG

=

CE

AE

．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴

BD

GD

=

CD

DG

，
∴

PB

PA

=

CE

AE

．
∵PC ²=PA•PB，
∴

PC2

PA2

=

PA•PB

PA2

=

PB

PA

=

CE

AE

，
即

PC2

PA2

=

CE

AE

．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．