Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P时边BC上一动点，过点P作PF⊥BC交AC于F，作PE⊥AB于E．
（1）当△PEF是等腰三角形时，求CP的长；
（2）当△PEF是直角三角形时，求CP的长．

Answer 1

分析 （1）分三种情况：①当PE=PF时，过A作AD⊥BC于D，于是得到CD=BD=$\frac{1}{2}$BC，设PE=PF=x，通过△CFP∽△CAD于是得到CP=$\frac{9}{4}$；②当EF=EP时，∠EPF=∠EFP，通过△EFP∽△ABC，设CP=x，则PF=$\frac{4}{3}$x，EP=$\frac{4}{5}$（6-x），得到$\frac{PE}{AB}=\frac{FP}{BC}$，即$\frac{\frac{4}{5}（6-x）}{5}=\frac{\frac{4}{3}x}{6}$，于是得到CP=$\frac{108}{43}$；③当EF=FP时，过F作FM⊥EP于M，设PC=x，通过△FMP∽△ADC，得到$\frac{FP}{PM}=\frac{AC}{AD}=\frac{5}{4}$，于是得到PC=$\frac{18}{11}$，
（2）①当EF∥BC时，△EFP是直角三角形，设PC=x，则CF=$\frac{5}{3}$x，PF=$\frac{4}{3}$x，EF=$\frac{16}{9}$x，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}$，于是求得PC=$\frac{27}{17}$，②当点F，A重合时，△EFP是直角三角形，此时PC=3．

解答 解：（1）①当PE=PF时，过A作AD⊥BC于D，∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴CD=3，AD=4，
在△PBE与△PCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠FPC=90°}\\{∠B=∠C}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴△PBE≌△PCF，
∴PB=CF，
设PE=PF=x，
∵PF⊥BC，
∴AD∥PF，
∴△CFP∽△CAD，
∴$\frac{FP}{AD}=\frac{CP}{CD}=\frac{CF}{AC}$，
∴PC=$\frac{3}{4}$x，CF=$\frac{5}{4}$x，
∴PC+CF=$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{4}$x=6，
∴x=3，
∴CP=$\frac{9}{4}$；
②当EF=EP时，∠EPF=∠EFP，
∵∠FPB=∠BEP=90°，
∴∠FPE+∠EPB=∠B+∠EPB=90°，
∴∠B=∠FPE，
∴∠EFP=∠C，
∴△EFP∽△ABC，
设CP=x，则PF=$\frac{4}{3}$x，EP=$\frac{4}{5}$（6-x），
∴$\frac{PE}{AB}=\frac{FP}{BC}$，即$\frac{\frac{4}{5}（6-x）}{5}=\frac{\frac{4}{3}x}{6}$，
∴x=$\frac{108}{43}$，
∴CP=$\frac{108}{43}$；
③当EF=FP时，过F作FM⊥EP于M，设PC=x，
∵∠FPE+∠EPD=∠EPD+∠B=90°，
∴∠FPE=∠B=∠C，
∴△FMP∽△ADC，
∴$\frac{FP}{PM}=\frac{AC}{CD}=\frac{5}{3}$，
∴$\frac{\frac{4}{3}x}{\frac{2}{5}（6-x）}=\frac{5}{3}$，
∴x=2，
∴PC=2；

（2）①当EF∥BC时，△EFP是直角三角形，
设PC=x，则CF=$\frac{5}{3}$x，PF=$\frac{4}{3}$x，EF=$\frac{16}{9}$x，
∵$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AC}$，
∴$\frac{\frac{16}{9}x}{6}$=$\frac{5-\frac{5}{3}x}{5}$，
∴x=$\frac{27}{17}$，
∴PC=$\frac{27}{17}$，
②当点F，A重合时，△EFP是直角三角形，
∵∠PPE=90°，AD=FP，
∴PC=CD=$\frac{1}{2}$BC=3．

点评 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．