Question

如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，求△ABC各边的长．

Answer 1

解：∵AD是⊙O的切线，
∴∠BAE=∠C，
∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠C=∠CAE=∠BAE，
∵BC⊥AD，
∴∠ABC=90°，
∴∠C=∠CAE=∠BAE=30°，
∵AE=2，
∴在Rt△BAE中，AB=AE•cos30°=2×=，
∴在Rt△ABC中，AC=2AB=2，BC==3．
∴△ABC各边的长分别为：AB=，AC=2，BC=3．
分析：由AD是⊙O的切线，根据弦切角定理，可得∠BAE=∠C，又由AE平分∠CAB，过C作AD的垂线，垂足为B，可求得∠C=∠CAE=∠BAE=30°，然后利用三角函数，求得答案．
点评：此题考查了切线的性质、弦切角定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．