Question

【题目】如图,在Rt△ABC中，∠C=90°AB=8cm，cos∠ABC=，点D在边AC上，且CD=cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，当点P到达B点即停止运动.设运动时间为t（s）．解答下列问题：

（1）M、N分别是DP、BP的中点，连接MN.

①分别求BC、MN的值；

②求在点P从点A匀速运动到点B的过程中线段MN所扫过区域的面积；

（2）在点P运动过程中，是否存在某一时刻t，使BD平分∠CDP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①BC=;MN=;②线段MN所扫过区域为平行四边形，面积为6;(3)

【解析】试题分析：（1）①根据已知的AB=8和锐角三角形函数cos∠ABC=，可求出BC的长，根据勾股定理求出BD的长，然后根据三角形的中位线的性质可求解；

②由于D点不动，所以BD的长不变，因此MN的长不变，由此可知扫过的区域为平行四边形，然后求解即可.

（2）如图，过D作DH⊥AB于H，BE⊥PD于E，根据角平分线的性质和三角形的面积的不变性可求解.

试题解析：（1）①BC=, MN=；

②线段MN所扫过区域为平行四边形，

面积为6；

（2）存在，

如图，过D作DH⊥AB于H，BE⊥PD于E，

∵BD平分∠CDP,

∴∠PDB=∠CDB，

∴BE = BC =，

∴DC=DE=，

∵AD=AC-CD==5

∴DH=3，

∵BPDH=BEPD，

∴ PD=5﹣t，

∴PE=﹣t，

∵BP2=PE2+BE2，

∴（8﹣t）2=（﹣t）2+（）2，(解此方程需要注意运算技巧，否则特别繁琐，影响运算结果与考试心情)解得：t=16（不合题意，舍去），t =，

∴当t=时，BD平分∠CDP．