【题目】已知抛物线(,)的顶点是,抛物线与轴交于点,与直线交于点.过点作轴于点,平移抛物线使其经过点、得到抛物线(),抛物线与轴的另一个交点为.
(1)若,,,求点的坐标
(2)若,求的值.
(3)若四边形为矩形,,,求的值.
【答案】(1);(2)0;(3)2.
【解析】
(1)抛物线S的表达式为:y=x2-2x+4,则点M(1,3),点D(1,0),则a′=1,c′=4,则抛物线S'的表达式为:y=x2+bx+4,将点D的坐标代上式并解得:b=-5,即可求解;
(2)过点作轴于点,点D的坐标为:,抛物线S′:y=ax2+b'x+c,将点D的坐标代入上式得:整理得: 即可求解;
(3)则点A(0,c),抛物线S的对称轴为,则点B(-b,c),则点C(-b,0),点D(-,0),y=a'x2+b'x+c'=x2-3x+c=0,则-b-b=3,-b(-b)=c,即可求解.
解:(1)抛物线的表达式为:,
则点,点,
则,,则抛物线的表达式为:,
将点的坐标代上式并解得:,
故抛物线的表达式为:,
则点;
(2)参考下图,过点作轴于点,
点的坐标为:,
抛物线
将点的坐标代入上式得:
,
∵
整理得:
∴
即,即
(3)如上图,四边形为矩形,
则点,抛物线的对称轴为,则点,
则点,点,
则,,
解得:.
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【题目】已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3.
(1)求该函数图象与x轴,y轴的交点坐标以及它的顶点坐标:
(2)根据(1)的结果在坐标系中利用描点法画出此抛物线.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中直线与轴相交于点,与反比例函数在第三象限内的图象相交于点。
(1)求反比例函数的关系式;
(2)将直线沿轴平移后与反比例函数图象在第三象限内交于点,且的面积为8,求平移后的直线的函数关系式。
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【题目】若二次函数y=x2﹣2x+k的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0的解一个为x1=3,则方程x2﹣2x+k=0另一个解x2=_____.
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【题目】已知二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴.一次函数的图象与二次函数的图象交于,两点(在的左侧),且点坐标为.平行于轴的直线过点.
求一次函数与二次函数的解析式;
判断以线段为直径的圆与直线的位置关系,并给出证明;
把二次函数的图象向右平移个单位,再向下平移个单位,二次函数的图象与轴交于,两点,一次函数图象交轴于点.当为何值时,过,,三点的圆的面积最小?最小面积是多少?
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【题目】如图乙,和是有公共顶点的等腰直角三角形,,点P为射线BD,CE的交点.
如图甲,将绕点A旋转,当C、D、E在同一条直线上时,连接BD、BE,则下列给出的四个结论中,其中正确的是______.
若,,把绕点A旋转,
当时,求PB的长;
求旋转过程中线段PB长的最大值.
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【题目】如图甲,,,,垂足分别为,且三个垂足在同一直线上.
(1)证明:;
(2)已知地物线与轴交于点,顶点为,如图乙所示,若是抛物线上异于的点,使得,求点坐标(提示:可结合第(1)小题的思路解答)
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【题目】综合与实践:
问题情境:在矩形ABCD中,点E为BC边的中点,将△ABE沿直线AE翻折,使点B与点F重合,直线AF交直线CD于点G.
特例探究 实验小组的同学发现:
(1)如图1,当AB=BC时,AG=BC+CG,请你证明该小组发现的结论;
(2)当AB=BC=4时,求CG的长;
延伸拓展:(3)实知小组的同学在实验小组的启发下,进一步探究了当AB∶BC=∶2时,线段AG,BC,CG之间的数量关系,请你直接写出实知小组的结论:___________.
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