Question

1．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，5），B（-2，1），C（-1，3）．
（1）若△ABC和△A₁B₁C₁关于原点O成中心对称图形，画出图形并写出△A₁B₁C₁的各顶点的坐标；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A₂B₂C₂，画出图形，求出线段AC扫过的部分的面积．

Answer 1

分析 （1）画出△A₁B₁C₁，并标出坐标；
（2）画出△A₂B₂C₂，由旋转得：△ACO≌△A₂C₂O，所以线段AC扫过的部分的面积是$\frac{1}{4}$圆O的面积（半径为OA）-$\frac{1}{4}$圆O的面积（半径为OC）．

解答 解：（1）如图所示A₁（3，-5），B₁（2，-1），C₁（1，-3），

（3）如图$OA=\sqrt{{5^2}+{3^2}}=\sqrt{34}$，$OC=\sqrt{{3^2}+{1^2}}=\sqrt{10}$，
由旋转得：AO=A₂O，AC=A₂C₂，OC=OC₂，
∴△ACO≌△A₂C₂O，
∴线段AC扫过部分的面积为：${S_{阴影}}=\frac{1}{4}[（\sqrt{34}{）^2}-{（\sqrt{10}）^2}]π=\frac{24}{4}π=6π$．

点评 本题考查了作图-旋转变换和中心对称的性质，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形；求线段扫过的面积时，利用数形结合的方法，注意割补法组合为圆环的面积可得结果．